Bisset, Weybridge, Surrey, İngiltere'de doğdu. Babası bir avukat Bisset'in, annesi ise 1. Dünya savaşında Alman işgali zamanında Paris'ten bir süvari gemisi ile İngiltere'ye kaçmıştır. Annesi çok iyi Fransızca bilmekteydi. İngiltere'deki Lycée Français Charles de Gaulle'den mezun olmuştur. Bisset genç bir kız iken annesi Multipl skleroz hastalığına yakalanmıştır. Anne ve babası 1968 yılında evlendikten 28 yıl sonra boşanmışlardır. Bisset bu olaydan sonra annesine sürekli yardım etmiş, genç yaşında aldığı bale derslerinin de etkisiyle modellik yapmaya ve oyunculuk dersleri almaya başlamıştır.